本站AI自動(dòng)判斷提供您所需要的app下載：點(diǎn)我下載安裝，你懂的APP
我們都學(xué)習(xí)過(guò)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，接下來(lái)我們先回顧一下這兩種函數(shù)的基本性質(zhì)。
所謂冪函數(shù)是指底數(shù)為自變量x，指數(shù)為常數(shù)a的函數(shù)。
冪函數(shù)：y=x^a
冪函數(shù)的性質(zhì)比較復(fù)雜，隨著a的不同取值，函數(shù)性質(zhì)也會(huì)相應(yīng)的變化，這里簡(jiǎn)單回顧一下最基本的性質(zhì)。
①a＞0時(shí)：
1、圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)、(0，0)；
2、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0，+∞)上是增函數(shù)。
②a＜0時(shí)：
1、圖像都通過(guò)點(diǎn)(1，1)；
2、圖像在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù)；
3、在第一象限內(nèi)，以x軸和y軸為漸近線。
③a=0時(shí)：y=a^0的圖像是直線y=1去掉一點(diǎn)(0，1)。
冪函數(shù)
所謂指數(shù)函數(shù)是指指數(shù)為自變量x，底數(shù)為常數(shù)a的函數(shù)。
指數(shù)函數(shù)：y=a^x（a＞0，a≠1）
指數(shù)函數(shù)的常見(jiàn)性質(zhì)有：
①定義域x∈R；
②值域y∈(0，+∞)；
③函數(shù)圖像必過(guò)點(diǎn)(0，1)；
④當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在R上遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在R上遞減。
指數(shù)函數(shù)
今天我們來(lái)討論一個(gè)和冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)都有些相似的函數(shù)——冪指函數(shù)。
所謂冪指函數(shù)是指底數(shù)和指數(shù)都含有自變量x的函數(shù)。
冪指函數(shù)：y=f(x)^[g(x)]
冪指函數(shù)
其實(shí)，我們對(duì)冪指函數(shù)并不陌生，非常重要的自然常數(shù)e的定義就是一個(gè)冪指函數(shù)求極限。
e=lim[(1+1/x)^x]，x→∞
這里函數(shù)y=(1+1/x)^x就是一個(gè)冪指函數(shù)。
冪指函數(shù)的性質(zhì)比較復(fù)雜，今天我們來(lái)討論最簡(jiǎn)單的冪指函數(shù)：y=x^x
首先我們來(lái)討論這個(gè)函數(shù)的定義域：
①很顯然，當(dāng)x＞0時(shí)，y=x^x在(0，+∞)上是連續(xù)的；
②當(dāng)x=0時(shí)，我在之前的文章中已經(jīng)詳細(xì)分析過(guò)0^0是無(wú)意義的；
③當(dāng)x＜0時(shí)，指數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)情況非常復(fù)雜，y=x^x在(0，+∞)上有無(wú)數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)。
y=x^x的圖像大致如下：
剛才我們已經(jīng)提到，對(duì)于函數(shù)y=x^x，當(dāng)x=0時(shí)，0^0無(wú)意義，但是當(dāng)x→0+時(shí)，這個(gè)函數(shù)是存在極限為1的。
0.1^0.1=0.794……
0.01^0.01=0.954……
0.001^0.001=0.993……
0.0001^0.0001=0.999……
…………
接下來(lái)，我們來(lái)求一下這個(gè)極限：
求證：lim(x^x)=1，x→0+
證明：
lim[ln(x^x)]=lim[x×ln(x)]
=lim[ln(x)/(1/x)]，x→0+
當(dāng)x→0+時(shí)，ln(x)→-∞，1/x→+∞
此極限為"-∞/+∞"型的未定式，根據(jù)洛必達(dá)法則
lim[ln(x^x)]=lim[ln(x)/(1/x)]
=lim[ln′(x)/(1/x)′]，x→0+
=lim[(1/x)/(-1/x^2)]，x→0+
=lim(-x)，x→0+
=-0=0=ln1，x→0+
lim[ln(x^x)]=ln1=0，x→0+
lim(x^x)=1，x→0+，證畢！
由于當(dāng)x＜0時(shí)，y=x^x在(0，+∞)上有無(wú)數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，情況比較復(fù)雜，暫不展開(kāi)討論。接下來(lái)我們重點(diǎn)討論當(dāng)x＞0時(shí)的情況。
我們先看一下如下計(jì)算結(jié)果：
剛才已經(jīng)計(jì)算出
lim(x^x)=1，x→0+
可以寫(xiě)成(0+)^(0+)=1
我們觀察如下計(jì)算結(jié)果：
1^1=1
(1/2)^(1/2)=0.707……
(1/3)^(1/3)=0.693……
(1/4)^(1/4)=0.707……
(1/5)^(1/5)=0.724……
(0+)^(0+)=1
很顯然，函數(shù)y=x^x在(0，1]上并不是單調(diào)的，那么y=x^x在(0，1]上的最小值是多少呢？在哪個(gè)點(diǎn)取到最小值呢？
接下來(lái)我們先來(lái)討論y=x^x在(0，+∞)上的單調(diào)性，要討論函數(shù)的單調(diào)性，需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。那么，這個(gè)函數(shù)應(yīng)該如何求導(dǎo)呢？這就必須利用到非常重要的對(duì)數(shù)恒等式。
對(duì)數(shù)恒等式：a^[log(a,N)]=N
證明：log(a,N)=x，a^x=N
a^x=a^[log(a,N)]=N，證畢！
對(duì)數(shù)恒等式a^[log(a,N)]=N有著非常重要的應(yīng)用，利用這個(gè)恒等式，我們可以將任何正數(shù)x表示成指數(shù)與對(duì)數(shù)相結(jié)合的形式，而指對(duì)數(shù)的底數(shù)a可以為任何不等于1的正數(shù)。
x=a^[log(a,x)]=2^[log(2,x)]
=10^[lg(x)]=e^[ln(x)]
對(duì)數(shù)恒等式
我們利用對(duì)數(shù)恒等式x=e^[ln(x)]的變換，可以將函數(shù)f(x)=x^x進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換。
f(x)=x^x={e^[ln(x)]}^x=e^[xln(x)]
利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)。
(x^x)′={e^[xln(x)]}′
=e^[xln(x)]×[xln(x)]′
=(x^x)[(x)′×ln(x)+x×ln′(x)]
=(x^x)[1×ln(x)+x×(1/x)]
=(x^x)[ln(x)+1]
結(jié)論：(x^x)′=[1+ln(x)](x^x)
除了這種求導(dǎo)方法以外，還有一種很有技巧的方法，非常值得大家學(xué)習(xí)。
求：y′(x)=(x^x)′
解：y=x^x
ln(y)=ln(x^x)=xln(x)
等式兩邊同時(shí)求關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，注意到y(tǒng)(x)是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，對(duì)關(guān)于y的函數(shù)求導(dǎo)時(shí)需要利用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。
[ln(y)]′=[xln(x)]′
(1/y)×y′(x)=(x)′×ln(x)+x×ln′(x)
=1×ln(x)+x×(1/x)=ln(x)+1
y′(x)=y[ln(x)+1]=(x^x)[ln(x)+1]
結(jié)論：(x^x)′=[1+ln(x)](x^x)
接下來(lái)我們來(lái)討論y=x^x在(0，+∞)上的單調(diào)性和最值。
令y′=(x^x)′=[1+ln(x)]×(x^x)=0
顯然，當(dāng)x＞0時(shí)，x^x＞0
1+ln(x)=0，ln(x)=-1
x=e^(-1)=1/e
注意那個(gè)神奇的自然常數(shù)e又出現(xiàn)了。
①當(dāng)0＜x＜1/e時(shí)：
1+ln(x)＜1+ln(1/e)=1-1=0
y′=[1+ln(x)]×(x^x)＜0
函數(shù)遞減；
②當(dāng)x＞1/e時(shí)：
1+ln(x)＞1+ln(1/e)=1-1=0
y′=[1+ln(x)]×(x^x)＞0
函數(shù)遞增。
③當(dāng)x=1/e時(shí)，函數(shù)取得最小值
ymin=(1/e)^(1/e)≈0.6922
這和我們之前給出的函數(shù)圖像性質(zhì)完全符合。
我們來(lái)總結(jié)一下今天學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)：
①y=x^x在(0，+∞)上是連續(xù)的；
②當(dāng)x=0時(shí)，0^0無(wú)意義；
③lim(x^x)=1，x→0+；
④當(dāng)x＜0時(shí)，y=x^x在(0，+∞)上有無(wú)數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)；
⑤x^x=e^[x×ln(x)]；
⑥(x^x)′=[1+ln(x)]×(x^x)；
⑦y=x^x在(0，1/e)上單調(diào)遞減；
⑧y=x^x在(1/e，+∞)上單調(diào)遞增；
⑨當(dāng)x=1/e時(shí)，y=x^x在(0，+∞)上取得最小值(1/e)^(1/e)。
最后留給大家一個(gè)趣味方程。
求解方程：x^x=x
歡迎大家將答案在評(píng)論區(qū)留言。
9.5分的韓劇《我親愛(ài)的朋友們》，講述幾位朋友在老年時(shí)期的故事，劇中的5位老太太，各有各的煩心事。
其中最讓我共情的是晶雅阿姨，一個(gè)常年忍受直男癌丈夫的賢德妻子。在看似一次簡(jiǎn)單的吵架之后決定離婚。
這部劇雖然是韓劇，但是放在中國(guó)一點(diǎn)也不突兀。
譬如之前一度火爆全網(wǎng)的蘇敏阿姨，為家庭操勞了半輩子，在56歲決定逃離無(wú)愛(ài)婚姻，開(kāi)著車(chē)自駕旅行去了。
她的背后，藏著千千萬(wàn)萬(wàn)女性的縮影，我們能夠在她的身上，看到周?chē)煜さ挠白樱鹎楦猩系墓缠Q。
劇中那個(gè)大男子主義、肆意使喚老婆、不在乎女兒的吝嗇直男癌老頭，在經(jīng)歷一系列事情后幡然悔悟，開(kāi)始反思過(guò)往，決定重新追回老太太。
然而，現(xiàn)實(shí)中的他們會(huì)改嗎？
大概率是不會(huì)的！
現(xiàn)在的老年夫妻，哪個(gè)妻子不是從年輕開(kāi)始操勞，養(yǎng)大了兒女又開(kāi)始帶孫子，一生都在為家庭貢獻(xiàn)奔波。
而丈夫呢？跟沒(méi)事兒人似的，并把她們的付出當(dāng)作理所當(dāng)然。不是說(shuō)全部家庭都這樣，但這絕不是少數(shù)。
“老娘不伺候了！”，不知道在多少妻子心中默念千萬(wàn)遍。
為什么大部分人沒(méi)能像蘇阿姨那樣勇敢呢？方方面面的因素有很多，或許是骨子里的善良和隱忍將她們推入步步深淵。
你不要以為幾部電視劇就能喚醒丈夫內(nèi)心的良知，他們真的不會(huì)把影子搬到自己的腳下，反而會(huì)奮力將戰(zhàn)火向外擴(kuò)張。
那種傲慢會(huì)裹挾自尊撐起佝僂的頭頸，并不會(huì)因?yàn)閯e人的善言勸諭而叩擊心扉，反而會(huì)激起該死的斗志，誓死捍衛(wèi)至高的尊嚴(yán)。
孩子要是為母親辯解幾句，丈夫立馬會(huì)覺(jué)得地位受到威脅，迅速開(kāi)啟數(shù)落教育模式，把幾十年的恩惠都羅列一番。
天知道，家人都無(wú)法正常對(duì)話是多么的心酸。
都說(shuō)家是溫暖的港灣，可對(duì)有的人來(lái)說(shuō)家就是酷暑和凜冬。每說(shuō)一句話都要打幾遍腹稿，確保沒(méi)有任何歧義和錯(cuò)意，生怕引來(lái)一場(chǎng)不必要的紛爭(zhēng)。
有人說(shuō)：認(rèn)知層次越低的人，越會(huì)捍衛(wèi)他的觀點(diǎn)。
這樣的人滿(mǎn)腦子都是觀點(diǎn)，他不會(huì)因?yàn)樗伎级磳?duì)只會(huì)因?yàn)榉磳?duì)你而反對(duì)，以此強(qiáng)調(diào)他的地位并挑明：你不能撼動(dòng)！
如果你試圖這么做，那么他會(huì)跟你拼命。
可以想象，和這樣的人生活幾十年還能保持忍耐和寬容是多么不容易。所以當(dāng)妻子們怒摔圍裙罷工的時(shí)候，會(huì)得到社會(huì)大多數(shù)的共情支持。
人們都說(shuō)除了生死，其他都是小事。
可是，活著，每一件小事都可能變成大事。
我并不是喪失對(duì)生活的積極性，只是很明白世上除了陌生的善意，還有親人的惡意，都能直抵內(nèi)心最柔軟的觸須。
生活是張偌大的調(diào)色盤(pán)，不可能處處都是明亮的紅黃藍(lán)，黑青紫也縱橫穿插。
羅曼羅蘭說(shuō)過(guò)：世界上只有一種真正的英雄主義，那就是看清生活的真相之后，依然熱愛(ài)生活。
這個(gè)世界不是由代碼組成的，輸入幾行字符就有很大的不同。
我們無(wú)法控制很多事的走向，小到買(mǎi)菜做飯，大到工作戀愛(ài)。甭管是否知道結(jié)局都得硬著頭皮走下去，必走的彎路任別人怎么提醒都繞不過(guò)去。
家庭關(guān)系這堂課，沒(méi)有最優(yōu)解公式，寫(xiě)不出完美答案，一生都修不滿(mǎn)。
遺憾，出沒(méi)在分秒之間；喜悅，才顯得彌足珍貴。
文內(nèi)配圖均來(lái)自《我親愛(ài)的朋友們》電視劇劇照
完
親愛(ài)的父母，拜托成為合格的老人！
33歲，已經(jīng)卷不動(dòng)了！
很多人，二十幾歲，已經(jīng)見(jiàn)完了這輩子最后一面
原生家庭的影響到底有多致命？