我們都學習過冪函數和指數函數，接下來我們先回顧一下這兩種函數的基本性質。
所謂冪函數是指底數為自變量x，指數為常數a的函數。
冪函數：y=x^a
冪函數的性質比較復雜，隨著a的不同取值，函數性質也會相應的變化，這里簡單回顧一下最基本的性質。
①a＞0時：
1、圖像都經過點(1，1)、(0，0)；
2、函數的圖像在區間[0，+∞)上是增函數。
②a＜0時：
1、圖像都通過點(1，1)；
2、圖像在區間(0，+∞)上是減函數；
3、在第一象限內，以x軸和y軸為漸近線。
③a=0時：y=a^0的圖像是直線y=1去掉一點(0，1)。
冪函數
所謂指數函數是指指數為自變量x，底數為常數a的函數。
指數函數：y=a^x（a＞0，a≠1）
指數函數的常見性質有：
①定義域x∈R；
②值域y∈(0，+∞)；
③函數圖像必過點(0，1)；
④當a＞0時，函數在R上遞增；當a＜0時，函數在R上遞減。
指數函數
今天我們來討論一個和冪函數與指數函數都有些相似的函數——冪指函數。
所謂冪指函數是指底數和指數都含有自變量x的函數。
冪指函數：y=f(x)^[g(x)]
冪指函數
其實，我們對冪指函數并不陌生，非常重要的自然常數e的定義就是一個冪指函數求極限。
e=lim[(1+1/x)^x]，x→∞
這里函數y=(1+1/x)^x就是一個冪指函數。
冪指函數的性質比較復雜，今天我們來討論最簡單的冪指函數：y=x^x
首先我們來討論這個函數的定義域：
①很顯然，當x＞0時，y=x^x在(0，+∞)上是連續的；
②當x=0時，我在之前的文章中已經詳細分析過0^0是無意義的；
③當x＜0時，指數為負數時情況非常復雜，y=x^x在(0，+∞)上有無數個間斷點。
y=x^x的圖像大致如下：
剛才我們已經提到，對于函數y=x^x，當x=0時，0^0無意義，但是當x→0+時，這個函數是存在極限為1的。
0.1^0.1=0.794……
0.01^0.01=0.954……
0.001^0.001=0.993……
0.0001^0.0001=0.999……
…………
接下來，我們來求一下這個極限：
求證：lim(x^x)=1，x→0+
證明：
lim[ln(x^x)]=lim[x×ln(x)]
=lim[ln(x)/(1/x)]，x→0+
當x→0+時，ln(x)→-∞，1/x→+∞
此極限為"-∞/+∞"型的未定式，根據洛必達法則
lim[ln(x^x)]=lim[ln(x)/(1/x)]
=lim[ln′(x)/(1/x)′]，x→0+
=lim[(1/x)/(-1/x^2)]，x→0+
=lim(-x)，x→0+
=-0=0=ln1，x→0+
lim[ln(x^x)]=ln1=0，x→0+
lim(x^x)=1，x→0+，證畢！
由于當x＜0時，y=x^x在(0，+∞)上有無數個間斷點，情況比較復雜，暫不展開討論。接下來我們重點討論當x＞0時的情況。
我們先看一下如下計算結果：
剛才已經計算出
lim(x^x)=1，x→0+
可以寫成(0+)^(0+)=1
我們觀察如下計算結果：
1^1=1
(1/2)^(1/2)=0.707……
(1/3)^(1/3)=0.693……
(1/4)^(1/4)=0.707……
(1/5)^(1/5)=0.724……
(0+)^(0+)=1
很顯然，函數y=x^x在(0，1]上并不是單調的，那么y=x^x在(0，1]上的最小值是多少呢？在哪個點取到最小值呢？
接下來我們先來討論y=x^x在(0，+∞)上的單調性，要討論函數的單調性，需要對函數進行求導。那么，這個函數應該如何求導呢？這就必須利用到非常重要的對數恒等式。
對數恒等式：a^[log(a,N)]=N
證明：log(a,N)=x，a^x=N
a^x=a^[log(a,N)]=N，證畢！
對數恒等式a^[log(a,N)]=N有著非常重要的應用，利用這個恒等式，我們可以將任何正數x表示成指數與對數相結合的形式，而指對數的底數a可以為任何不等于1的正數。
x=a^[log(a,x)]=2^[log(2,x)]
=10^[lg(x)]=e^[ln(x)]
對數恒等式
我們利用對數恒等式x=e^[ln(x)]的變換，可以將函數f(x)=x^x進行如下轉換。
f(x)=x^x={e^[ln(x)]}^x=e^[xln(x)]
利用復合函數求導法則，可對其進行求導。
(x^x)′={e^[xln(x)]}′
=e^[xln(x)]×[xln(x)]′
=(x^x)[(x)′×ln(x)+x×ln′(x)]
=(x^x)[1×ln(x)+x×(1/x)]
=(x^x)[ln(x)+1]
結論：(x^x)′=[1+ln(x)](x^x)
除了這種求導方法以外，還有一種很有技巧的方法，非常值得大家學習。
求：y′(x)=(x^x)′
解：y=x^x
ln(y)=ln(x^x)=xln(x)
等式兩邊同時求關于x的導數，注意到y(x)是一個關于x的函數，對關于y的函數求導時需要利用到復合函數的求導法則。
[ln(y)]′=[xln(x)]′
(1/y)×y′(x)=(x)′×ln(x)+x×ln′(x)
=1×ln(x)+x×(1/x)=ln(x)+1
y′(x)=y[ln(x)+1]=(x^x)[ln(x)+1]
結論：(x^x)′=[1+ln(x)](x^x)
接下來我們來討論y=x^x在(0，+∞)上的單調性和最值。
令y′=(x^x)′=[1+ln(x)]×(x^x)=0
顯然，當x＞0時，x^x＞0
1+ln(x)=0，ln(x)=-1
x=e^(-1)=1/e
注意那個神奇的自然常數e又出現了。
①當0＜x＜1/e時：
1+ln(x)＜1+ln(1/e)=1-1=0
y′=[1+ln(x)]×(x^x)＜0
函數遞減；
②當x＞1/e時：
1+ln(x)＞1+ln(1/e)=1-1=0
y′=[1+ln(x)]×(x^x)＞0
函數遞增。
③當x=1/e時，函數取得最小值
ymin=(1/e)^(1/e)≈0.6922
這和我們之前給出的函數圖像性質完全符合。
我們來總結一下今天學習的知識點：
①y=x^x在(0，+∞)上是連續的；
②當x=0時，0^0無意義；
③lim(x^x)=1，x→0+；
④當x＜0時，y=x^x在(0，+∞)上有無數個間斷點；
⑤x^x=e^[x×ln(x)]；
⑥(x^x)′=[1+ln(x)]×(x^x)；
⑦y=x^x在(0，1/e)上單調遞減；
⑧y=x^x在(1/e，+∞)上單調遞增；
⑨當x=1/e時，y=x^x在(0，+∞)上取得最小值(1/e)^(1/e)。
最后留給大家一個趣味方程。
求解方程：x^x=x
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文內配圖均來自《我親愛的朋友們》電視劇劇照
完
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